工科数学分析（一）

你将学到什么

课程概况

工科数学课程（一）教学内容包括：数列极限的基本理论、一元函数极限与连续、 一元函数微分学、不定积分与定积分、广义积分、数项级数。本套视频课设有供学生选学的提高课，满足不同程度学生的要求。提高课内容包括自然界混沌现象与极限、泰勒公式与科学计算、积分算子在工程领域中的应用等一系列问题，为学生初步打开现代数学的窗口，开阔学生视野。同时每一章都设置了系列探索类问题，包括理论问题、应用问题，培养学生应用数学解决实际问题的能力。本套视频课程充分利用多媒体信息技术，将复杂数学问题直观化，图文并茂，复杂的数学公式变得色彩斑斓和生动。

本套视频课为学生营造一对一的视频授课环境，使得学生对数学问题的理解更通透。本套视频课具备基础性、前沿性和研究探索性的特点。通过本套视频课的学习，全面提高学生的科学素质以及应用数学解决实际问题的能力，为后续课程的学习奠定了扎实的基础。

课程大纲

第1章数列极限
掌握数列极限的定义、收敛数列的基本性质、单调有界定理、闭区间套定理、确界定理、柯西 收敛原理、有限覆盖定理。

第2章函数极限与连续性
掌握集合映射的基本概念、函数极限的定义与基本性质、函数极限的海涅定理和柯西收敛原理、无穷小与无穷大的阶的定义与计算、连续函数与一致连续、有限闭区间上连续函数的性质。了解压缩映射原理的应用。

第3章 函数的导数与微分
掌握导数概念、基本初等函数的求导公式和导数四则运算法则、复合函数求导的链式法则、高阶导数的莱布尼茨公式、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。掌握函数的单调性和极值、凹凸性及拐点的判定方法、罗比塔法则求函数的极限。

第4章泰勒公式
掌握函数微分的概念、泰勒公式(皮亚诺、拉格朗日余项)以及近似计算。了解泰勒公式在实际问题中的应用与拉格朗日插值逼近。

第5章不定积分
掌握原函数的概念、不定积分的两类换元公式以及分部积分公式。掌握有理函数、三角有理函数不定积分的判别方法。

第6章定积分
掌握定积分概念及其基本性质、微积分基本定理、积分中值定理、定积分的分部与换元积分法。函数可积的条件：达布上和下和定理，了解函数可积的勒贝格定理。

第7章定积分的应用
掌握平面面积，旋转体体积，旋转曲面面积、平面曲线的曲率与弧长的计算方法；掌握定积分的物理应用：变力做功、重心坐标、转动惯量等物理量的求解方法。

第8章广义积分
掌握无穷区间上积分与瑕积分的定义与计算、非负函数广义积分收敛的判别方法及其应用、广义积分收敛的柯西定理、狄利克雷和阿贝尔判别法及其应用。

第9章数项级数
掌握无穷级数收敛的概念及其基本性质、正项级数判别法（比较判别法，柯西判别法，达郎贝尔判别法、拉贝判别法）、一般项级数收敛的狄利克雷和阿贝尔判别法；掌握绝对收敛和条件收敛以及更序定理。

预备知识

高中数学

证书或学分

本课程的学习环节包含：观看讲课视频、完成单元测验题、参加期末考试。
课程学习成绩由二部分构成：
（1）单元测验：在每一章学习结束后，将有一次单元测验，题型为选择题、填空题，所有单元测验分数占课程成绩的60%。
（2）课程考试：课程结束后，学生可以参加课程的最后考试，成绩占40%。
完成课程学习并考核合格(>=60分)的可获得合格证书，成绩优秀(>80分)的可获得优秀证书。

参考资料

《工科数学分析教程》 （上、下册），杨小远主编，科学出版社。