课程概况
高等数学以微积分为主要内容。微积分是研究运动和变化的数学，它广泛应用于自然科学、社会科学、经济管理、工程技术等各个领域，其内容、思想与方法对培养各类人才全面综合素质具有不可替代的作用。高等数学课程着重培养学员的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、实验及观察能力以及综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，也是开展数学素质教育、培养学习者创新精神和创新能力的重要课程。
为符合MOOC课程的特点并方便广大学习者，我们将传统意义的高等数学课程分成五个部分，共100讲，由十五章组成。主要内容包括：极限与连续、数值级数、一元函数导数与积分、常微分方程、空间解析几何、多元函数微分学及应用、重积分、曲线与曲面积分、幂级数与傅里叶级数。
高等数学（一）共21讲，主要内容有：绪论、映射与函数、数列极限与数值级数、函数极限与连续。
课程大纲
高等数学一（共21讲）
第0章 绪论
第一讲 微积分纵览
1. 微积分创立背景
2.1 . 几个微积分问题——如何求平面图形面积
2.2 . 几个微积分问题——如何求平面曲线切线
2.3 . 几个微积分问题——如何求无穷多个数的和
3 . 如何学习微积分
第二讲 如何用Mathematica做微积分
1 . 问题引入
2.1 . Mathematica基本操作——界面简介
2.2 . Mathematica基本操作——基本运算与数
2.3 . Mathematica基本操作——函数与列表处理
3 . 绘制图形
4.1 . 微积分基本计算——解方程与不等式
4.2 . 微积分基本计算——导数与微分
4.3 . 微积分基本计算——求积分与解微分方程
第一章 映射与函数
第三讲 集合与映射
1 . 问题引入
2.1 . 集合的概念与运算——集合的概念
2.2 . 集合的概念与运算——集合的运算性质
2.3 . 集合的概念与运算——直积的概念
3 . 确界与连续性公理
4 . 区间与邻域
5 . 映射
6 . 集合的比较
第四讲 函数的概念与性质
1 . 问题引入
2 . 函数的概念
3 . 函数的例子
4 . 函数的运算
5.1 . 函数的简单特性——单调性与有界性
5.2 . 函数的简单特性——奇偶性与周期性
第五讲 初等函数
1 . 问题引入
2.1 . 基本初等函数——幂函数与指数函数
2.2 . 基本初等函数——三角函数与反三角函数
3 . 初等函数
4 . 双曲函数
第六讲 曲线的参数方程与极坐标方程
1 . 问题引入
2.1 . 曲线的参数方程——参数方程概念
2.2 . 曲线的参数方程——直角坐标方程化为参数方程
2.3 . 曲线的参数方程——常见曲线的参数方程
3.1 . 极坐标与极坐标方程——极坐标系
3.2 . 极坐标与极坐标方程——曲线的极坐标表示
4.1 . 圆锥曲线——圆锥曲线的定义
4.2 . 圆锥曲线——圆锥曲线极坐标方程
第二章数列极限与数值级数
第七讲 数列极限的概念
1 . 问题引入
2 . 数列极限的直观描述
3 . 数列极限的算术定义
4 . 数列极限的几何解释
5 . 割圆术与圆周率
第八讲 数列极限的性质
1 . 问题引入
2.1 . 数列极限的基本性质——惟一性
2.2 . 数列极限的基本性质——有界性
2.3 . 数列极限的基本性质——保号性
3.1 . 数列极限的运算法则——四则运算法则
3.2 . 数列极限的运算法则——四则运算法则的应用
第九讲 数列收敛的判定方法
1 . 问题引入
2.1 . 夹逼定理——定理证明
2.2 . 夹逼定理——定理应用
3.1 . 单调有界原理——定理证明
3.2 . 单调有界原理——定理应用
4 . 区间套定理
第十讲 子数列与聚点原理
1 . 问题引入
2 . 子数列的概念
3 . 数列收敛的归并性
4 . 聚点原理
5 . 柯西收敛原理
第十一讲 无穷级数的概念与运算性质
1 . 问题引入
2 . 级数的由来
3 . 级数收敛的概念
4 . 收敛级数的性质
5 . 柯西收敛原理
第十二讲 正项级数收敛性判别方法
1 . 问题引入
2 . 正项级数收敛的充要条件
3.1 . 比较判别法——不等式形式
3.2 . 比较判别法——极限形式
4 . 比值判别法与根值判别法
第十三讲 变号级数收敛性判别方法
1 . 问题引入
2.1 . 交错级数——莱布尼兹判别法
2.2 . 交错级数——莱布尼兹判别法的应用
3 . 绝对收敛与条件收敛
4 . 级数收敛性判定一般方法
第三章 函数极限与连续
第十四讲 函数极限的概念
1 . 问题引入
2 . 连续变量的变化过程
3 . 函数极限例子
4.1 . 函数极限的定义——在无穷远处的情形
4.2 . 函数极限的定义——在有限点处的情形
4.3 . 函数极限的定义——极限存在性讨论
第十五讲 函数极限的性质与运算法则
1 . 问题引入
2 . 函数极限的性质
3 . 函数极限的四则运算法则
4 . 复合运算的极限
第十六讲 函数极限存在性的判定准则
1 . 问题引入
2 . 函数极限与数列极限的关系
3 . 夹逼定理
4.1 . 两个重要极限及应用——重要极限之一
4.2 . 两个重要极限及应用——重要极限之二
4.3 . 两个重要极限及应用——重要极限的应用
第十七讲 无穷小量与无穷大量
1 . 问题引入
2 . 无穷小的概念
3 . 无穷小的运算性质
4 . 无穷大与铅直渐近线
5.1 . 无穷小的比较——无穷小的比较的概念
5.2 . 无穷小的比较——常用等价无穷小关系及其应用
第十八讲 函数连续的概念
1 . 问题引入
2.1 . 连续函数的概念——函数在一点连续
2.2 . 连续函数的概念——函数在区间上连续
3.1 . 间断点及其类型——间断点的概念
3.2 . 间断点及其类型——与间断点有关的问题
第十九讲 连续函数的运算
1 . 问题引入
2.1 . 连续函数的运算法则——四则运算法则
2.2 . 连续函数的运算法则——复合运算法则
2.3 . 连续函数的运算法则——求逆运算法则
3 . 初等函数的连续性
4 . 压缩映像原理
第二十讲 闭区间上连续函数的性质
1 . 问题引入
2.1 . 最值定理——最值的概念与最值定理
2.2 . 最值定理——最值定理的证明
3.1 . 零值定理与介值定理——定理证明
3.2 . 零值定理与介值定理——定理应用
第二十一讲 函数的一致连续性
1 . 问题引入
2 . 一致连续的定义
3 . 一致连续的几何解释
4 . 一致连续性定理
预备知识
高中数学
参考资料
【1】朱健民，李建平.高等数学（第二版）（上、下）.北京：高等教育出版社，2015年.
上册购买链接：https://www.hepmall.com/index.php/product-16589.html
下册购买链接：https://www.hepmall.com/index.php/product-16799.html
【2】李建平，朱健民.高等数学的典型例题与解法（上、下）.长沙：国防科技大学出版社，2003年.
【3】李建平，朱健民等.高等数学课程实验.北京：科学出版社，2011年.
【4】李建平，朱健民等.高等数学试题汇编.长沙：国防科技大学出版社，2013年.
