微积分（一）

课程概况

微积分是研究变量的数学，是运动的数学，是微分学与积分学的总称。

微积分创立于17世纪，它是一系列数学思想历经漫长岁月演变的结果，特别是积分的思想早在古希腊已经萌芽。公元前3世纪，阿基米德在解决抛物线弓形的面积、球冠面积和旋转双曲面的体积问题中就隐含着近代积分学的思想。

与积分学相比，微分学的起源则要晚些。17世纪以前，真正意义上的微积分研究的例子是很罕见的。近代微积分的酝酿，主要是在17世纪上半叶。自然科学的综合突破所面临的数学困难，使微积分的基本问题空前地成为人们关注的焦点：确定非匀速物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；望远镜的设计使任意曲线的切线问题变得不可回避；确定炮弹的最大射程及寻求星轨的近日点与远日点等涉及到函数极值问题丞待解决。与此同时，行星沿轨道运行的路程，行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算又使对积分学的基本问题（面积、体积、曲线长、重心和引力计算）的兴趣被重新激发起来。17世纪许多著名数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，为微积分的创立提供了重要的工作准备。他们的一系列前驱性的工作，沿着不同的方向向着微积分的大门逼近，但这仍不足以标志微积分作为一门独立学科的诞生。

自觉地意识到一个伟大的发现并实际去完成它的是英国科学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）。他们总结并发展了前人的思想，提炼了微积分的基本概念和方法，各自独立地创立论微积分。牛顿和莱布尼兹都是他们时代的巨人，就微积分的创立而言，牛顿主要是以运动学为背景，而莱布尼兹是出于几何问题的思考。尽管在背景、方法和形式上存在差异，各有特色，他们二人的功绩是相当的。经过他们的工作，微积分成为了一门独立的学科，不再是解决个别问题的特殊方法，而是能应用于许多类函数且有普适性的方法。他们的最大功绩是将两个貌似不相关的问题联系起来，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题），建立了两者之间的桥梁—牛顿-莱布尼兹公式。

微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”，是人类对自然界认识到一个大飞跃，是数学发展中的一个转折点，它使运动进入到数学，不再孤立、静止地看待一个个问题，而是采用极限的方法，普遍地解决问题。

微积分自诞生之日起就与实际应用紧密结合在一起，到今天依然如此。时至今日，它在天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、应用数学及社会科学中有越来越广泛的应用，其程度足以令那些当初创立这门学科的物理学家、数学家和天文学家震惊和欣慰。

微积分是各高等院校许多专业的一门重要基础课，它对培养、提高同学们的素质有着重要作用。它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学家，显微镜之于生物学家一样。而且，它对思维能力的培养可以使人终身受益。

微积分的内容很丰富，它呈现出概念复杂、理论性强、表达形式抽象的特点。学这门课时，需要正确领会一些重要的数学思想方法，培养抽象思维与逻辑推理能力，掌握基本运算方法，逐步养成自己综合运用所学的数学知识解决实际问题的意识和兴趣，培养建立实际问题的数学模型，运用数学方法解决实际问题的能力。

课程大纲

01
基础知识
本章主要介绍微积分研究的对象“函数”。通过本章的学习，能够理解什么是基本初等函数、什么是反函数、什么是复合函数，以及初等函数是如何定义的，这将为今后学习函数的极限、求导、积分等奠定基础。
课时
0.1 集合与区间
0.2 函数-part 1 函数的定义
0.2 函数-part 2 函数的性质
0.2 函数-part 3 复合函数与反函数
0.2 函数-part 4 基本初等函数与初等函数
02
极限与连续
本章主要介绍极限的定义、极限的计算方法以及函数连续的定义。通过本章的学习，能够学会用极限的定义来证明数列和函数的极限，也能够掌握一些计算极限的方法和技巧，同时还能够学会如何研究函数在某点的连续性。
课时
1.1 数列的极限-part 1 极限思想的起源
1.1 数列的极限-part 2 数列极限的定义
1.1 数列的极限-part 3数列极限的证明
1.1 数列的极限-part 4 数列极限的性质
1.1 数列的极限-part 5 数列收敛的准则
1.2 函数的极限-part 1 自变量趋于无穷时函数的极限A
1.2 函数的极限-part 1 自变量趋于无穷时函数的极限B
1.2 函数的极限-part 2 自变量趋于有限值时函数的极限A
1.2 函数的极限-part 2 自变量趋于有限值时函数的极限B
1.2 函数的极限-part 3 函数极限的性质
1.3 极限的运算法则-part1 极限的四则运算法则定理
1.3 极限的运算法则-part2 极限的四则运算法则应用举例
1.3 极限的运算法则-part3 复合函数极限运算法则
1.3 极限的运算法则-part4 复合函数极限运算法则应用举例
1.4 两个重要极限-part 1 第一个重要极限证明
1.4 两个重要极限-part 2 第一个重要极限应用
1.4 两个重要极限-part 3 第二个重要极限证明
1.4 两个重要极限-part 4 第二个重要极限应用
1.5 无穷小与无穷大-part 1 无穷小与无穷大定义及关系
1.5 无穷小与无穷大-part 2 无穷小运算性质
1.5 无穷小与无穷大-part 3 无穷小的阶及其比较
1.5 无穷小与无穷大-part 4 等价无穷小代换定理
1.6 函数的连续性-part 1 函数在一点处的连续性
1.6 函数的连续性-part 2 单侧连续与区间连续性
1.6 函数的连续性-part 3 初等函数的连续性
1.6 函数的连续性-part 4 间断点及其分类A
1.6 函数的连续性-part 5 间断点及其分类B
1.6 函数的连续性-part 6 闭区间上连续函数的性质
1.6 函数的连续性-part 7 闭区间上连续函数性质应用举例
03
导数与微分
本章主要介绍导数与微分的定义，以及导数与微分的计算方法。通过本章的学习，能够学会如何计算复合函数的导数、反函数的导数、隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数等，同时还能掌握如何利用微分进行近似计算。这将为利用导数和微分研究实际问题奠定理论基础和计算方法基础。
课时
2.1 导数概念-part1 引出导数概念的两个例子
2.1 导数概念-part2 导数的定义
2.1 导数概念-part3 导数的意义
2.1 导数概念-part4 可导与连续的关系
2.1 导数概念-part5 几个基本初等函数的导数
2.1 导数概念-part6 导数与某些极限的关系
2.2 求导法则与基本公式-part1 导数的四则运算法则
2.2 求导法则与基本公式-part2 反函数的求导法则
2.2 求导法则与基本公式-part3 复合函数的求导法则
2.2 求导法则与基本公式-part4 分段函数的导数
2.3 隐函数与参数方程的导数-part1 隐函数求导法
2.3 隐函数与参数方程的导数-part2 对数求导法
2.3 隐函数与参数方程的导数-part3 参数方程确定函数求导法
2.3 隐函数与参数方程的导数-part4 极坐标确定曲线的切线斜率
2.3 隐函数与参数方程的导数-part5 相关变化率问题
2.4 高阶导数-part1 高阶导数的概念
2.4 高阶导数-part2 几个简单函数的高阶导数
2.4 高阶导数-part3 乘积的高阶导数
2.4 高阶导数-part4 隐函数的二阶导数
2.4 高阶导数-part5 参数方程确定函数的二阶导数
2.5 函数的微分-part1 微分的概念
2.5 函数的微分-part2 微分与导数及微分的几何意义
2.5 函数的微分-part3 微分的运算法则
2.5 函数的微分-part4 微分在近似计算中的应用
2.5 函数的微分-part5 微分在误差估计中的应用
04
中值定理与导数的应用
本章主要介绍三大中值定理以及导数在求极值和最值方面的应用。通过本章的学习，能够学会如何证明含有中值的等式，更重要的是能够掌握如何运用导数研究实际中的优化问题，即求最值问题。同时还能掌握如何借助分析的方法研究函数的性态，从而画出函数的图形。
课时
3.1 微分中值定理-part1 费马定理与罗尔中值定理
3.1 微分中值定理-part2 拉格朗日中值定理
3.1 微分中值定理-part3 柯西中值定理
3.2 未定式的极限-part1 0/0型未定式的极限
3.2 未定式的极限-part2 其他类型未定式的极限
3.3 泰勒公式-part1 问题的提出与泰勒中值定理
3.3 泰勒公式-part2 泰勒公式的应用1
3.3 泰勒公式-part3 泰勒公式的应用2
3.4 函数性态的研究-part1 函数的单调性
3.4 函数性态的研究-part2 函数的极值与最值
3.4 函数性态的研究-part3 曲线的凹凸性与拐点
3.4 函数性态的研究-part4 函数作图
3.5 曲线的曲率-part1 弧微分与曲率
3.5 曲线的曲率-part2 曲率的计算与曲率圆
05
积分及其应用
本章主要介绍不定积分与定积分的定义和计算方法，还将重点介绍定积分在几何、物理方面的应用。通过本章的学习，能够学会计算不定积分和定积分的方法，能够掌握如何利用微元的思想求解几何问题和物理问题。
课时
4.1 定积分的概念与性质-part1 定积分的概念
4.1 定积分的概念与性质-part2 定积分的存在定理与几何意义
4.1 定积分的概念与性质-part3 定积分的性质
4.2 微积分基本定理-part1 变上限积分函数
4.2 微积分基本定理-part2 牛顿-莱布尼兹公式
4.3 不定积分-part1 不定积分的概念与性质
4.3 不定积分-part2 不定积分的第一换元积分法
4.3 不定积分-part3 不定积分的第二换元积分法
4.3 不定积分-part4 不定积分的分部积分法
4.3 不定积分-part5 有理函数的不定积分
4.3 不定积分-part6 三角有理式与无理函数的不定积分
4.4 定积分的计算-part1 定积分的换元积分法
4.4 定积分的计算-part2 定积分的分部积分法
4.5 反常积分-part1 无穷积分
4.5 反常积分-part2 瑕积分
4.6 定积分的几何应用-part1 微元法介绍
4.6 定积分的几何应用-part2A 平面图形的面积(直角坐标)
4.6 定积分的几何应用-part2B 平面图形的面积(参数方程)
4.6 定积分的几何应用-part2C 平面图形的面积(极坐标方程)
4.6 定积分的几何应用-part3A 立体体积(旋转体薄片法)
4.6 定积分的几何应用-part3B 立体体积(旋转体柱壳法)
4.6 定积分的几何应用-part3C 立体体积(平行截面法)
4.6 定积分的几何应用-part4 平面曲线的弧长
4.7 定积分的物理应用-part1 变力沿直线做功
4.7 定积分的物理应用-part2 液体的侧压力
4.7 定积分的物理应用-part3 细杆对质点的引力